Coordonnées - distances 

  1. Définition : On dit qu’un repère du plan (O, I, J) est orthonormé lorsque :

· Les axes des abscisses et des ordonnées sont perpendiculaires, c’est à dire (OI) ^ (OJ).

·  Les unités de longueur sont les mêmes sur les deux axes c’est à dire OI = OJ.

 I et J sont alors les points de coordonnées respectives (1 ; 0) et (0 ; 1). 

  1.  Coordonnées d’un vecteur dans un repère orthonormé.

  2.  

    1. Définition : Soit M un point du plan.

Les coordonnées du vecteur  sont celles du point M.

Autrement dit si M a pour coordonnées (x ; y), alors  a pour coordonnées (x ; y) aussi. 

    1. Propriété : Soient A( xA ; yA ) et B( xB ; yB ) deux points du plan.

 Les coordonnées du vecteur  sont données par : (xB – xA ; yB – yA).

En effet, = +=  - +  =  - .

Sur les coordonnées cela devient :  = ( xB ; yB ) - ( xA ; yA )  = (xB – xA ; yB – yA).

On effectue les calculs sur les abscisses (entre elles) et sur les coordonnées (entre elles).

Les coordonnées du vecteur  sont les valeurs qu’il faut ajouter aux coordonnées du point A pour obtenir celles su point B.

 

Exemple :

 

Si A( 2 ; 1 ) et B( 5 ; -1 )

 

alors

 =  (5 – 2 ; -1 – 1) = ( 3 ; -2 ).

 

 

 

    1. Égalité vectorielle :

 

Propriété 1 : Deux vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées.

Propriété 2 : Si deux vecteurs ont les mêmes coordonnées, alors ils sont égaux.

 

        

Exemple :

 

Soit A( 2 ; 1 ) et B( 5 ; -1 )

Alors  =  ( 3 ; - 2 )

 

Soit C(  - 1 ; 0 ) et D( 2 ; -2 )

Alors =  ( 3 ; - 2 )

 

donc  = .

 

 

  1. Coordonnées du milieu d’un segment.

Propriété :

Soit A(xA ; yA) et B(xB ; yB) deux points.

 

Le milieu K du segment [AB] a pour coordonnées   .

 

(Autrement dit, on « fait la moyenne » des coordonnées de A et de B).

 

Exemple : Soit A( 2 ; 1 ) et B( 5 ; -1 )

Les coordonnées du milieu K du segment [AB] sont ( 7/2 ; 0/2) = ( 3,5 ; 0 ).

 

 

On le montre aisément en utilisant l’écriture vectorielle du milieu.

 =  donc  - = -

et donc  =   +

 et = (  + ) / 2.

 

        

  1. Distance entre deux points dans un repère orthonormé.

Propriété :

Soient A et B deux points situés dans un repère orthonormé du plan, de coordonnées respectives : ( xA ; yA ) et ( xB ; yB ).

 

Soit M le point de coordonnées ( xB ; yA ).

En appliquant le théorème de Pythagore au triangle rectangle ABM, on a :

 

AB² = AM² + BM²

donc  : AB² = (xB – xA)² + (yB – yA)²

et donc AB = .

 

 

ci-dessus : A( 2 ; 1 ) et B( 5 ; -1 ) et M ( 5 ; 1 ).

 

Donc AB = .

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