1. La sphère, la boule
a. Définition : Soit O un point de l’espace.
On appelle sphère de centre O et de rayon R l’ensemble de tous les points M de l’espace qui sont situés à une distance R du point O, donc tels que OM = R.
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Sur la figure ci-contre :
les segments [AB], [A1B1] et [A2B2] sont des diamètres de la sphère.
On dit que les points A et B sont diamétralement opposés.
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L’intérieur de la sphère est appelé « boule de centre O ».
C’est donc l’ensemble des points M de l’espace tels que : OM < R.
b. Aire de la sphère :
| L’aire de la sphère de rayon R est donné par la formule : |
A = 4 x p x R2. |
c. Volume de la boule :
| Le volume d’une boule de rayon R est donné par la formule : |
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2. Section d’une sphère par un plan.
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La section d’une sphère par un plan est un cercle. Remarque : Quand le plan passe par le centre O (Plan P2), le cercle a le même rayon que la sphère. On dit que c’est un grand cercle de la sphère.
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Cas particulier : Quand la section de la sphère par le plan n’est qu’un point, on dit que le plan est tangent à la sphère. |
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3. Section d’un pavé par un plan.
La section d’un pavé droit par un plan parallèle à une face ou à une arête est un rectangle.
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Exemple 1 : Le plan (P) est parallèle à la face ABCD. La section est un rectangle identique à ABCD. |
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Exemple 2 : Le plan (P) est parallèle à l’arête [BC]. La section est un rectangle.
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4. Section d’un cylindre de révolution par un plan.
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La section d’un cylindre de rayon R par un plan parallèle aux bases est un cercle de rayon R.
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La section d’un cylindre par un plan parallèle à l’axe de révolution est un rectangle.
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5. Sections d’une pyramide ou d’un cône par un plan
La section d’une pyramide ou d’un cône de révolution par un plan parallèle à la base est une réduction de la base.
C’est à dire que c’est une figure de même nature (rectangle, carré, cercle…) mais dont les longueurs sont proportionnelles à la base.
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Cône de révolution On remarque que : (OA) // (OA’) D’après la propriété de Thalès, on peut donc écrire :
k est le rapport de la réduction. |
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Pyramide régulière à base carrée On remarque que : (AB)//(A’B’) (BC)//(B’C’) (CD)//(C’D’) (DA)//(D’A’) D’après la propriété de Thalès, on peut donc écrire :
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