Définition :
Soit « a » et « b » deux nombres donnés.
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Quand on associe à chaque nombre « x » le nombre « ax + b », on dit qu’on définit une fonction affine f. |
On notera cette fonction : f : x ® ax + b |
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Le nombre « ax + b » est appelé image de x par f. Plusieurs notations sont utilisées pour désigner l’image de x : f : x ® ax + b ou encore f(x) = ax + b |
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Exemples :
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Soit f est la fonction affine définie par : f : x ® 2x + 3 |
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L’image de 5 est 13. En effet f(5) = 2 ´ 5 + 3 = 10 + 3 = 13. L’image de (-3) est - 3. En effet f(-3) = 2 ´ (-3) + 3 = -6 + 3 = -3. L’image de 1 est 5. En effet f(1) = 2 ´ 1 + 3 = 2 + 3 = 5. |
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On peut présenter ces résultats dans un tableau |
x |
5 |
-3 |
1 |
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f(x) |
13 |
- 3 |
5 |
Ce tableau n’est pas un tableau de proportionnalité.
Deux situations
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La mesure T d’une température en degrés Fahrenheit est une fonction affine de la mesure t de la même température en degré Celsius (ou centigrade). Elle est donnée par la relation : T = 1,8 t + 32 |
Température t en °C |
0 |
10 |
100 |
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Température T en °F |
32 |
50 |
212 |
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Un cinéma propose le tarif suivant : une carte d’abonnement à 30€. 2€ pour une entrée lorsqu’on est abonné. Le prix a payé pour x entrées est donc 2x + 30. Ce prix est une fonction affine du nombre d’entrées. |
Nombre d’entrées |
1 |
2 |
3 |
10 |
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Prix en € |
32 |
34 |
36 |
50 |
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Représentation graphique :
Soit f la fonction affine définie par : f (x) = ax + b
L’ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)) est appelé représentation graphique de la fonction affine.
Dans un repère, cette représentation est la droite :
- passant par le point B de coordonnées (0 b).
- parallèle à la droite représentative de la fonction g(x) = ax.
Ce parallélisme s’explique par le fait que pour tout nombre x, le calcul de f(x) consiste à ajouter « b » au calcul de « ax ».
Les points de coordonnées (x ; ax + b) sont donc tous les translatés des points de coordonnées ( x ; ax ) par la translation qui transforme O en B.
On dit que y = ax + b est une équation de cette droite.
« a » est le coefficient directeur de la droite.
Il indique « l’inclinaison » de la droite.
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Sur la figure ci-dessus, on a représenté la fonction linéaire définie par f(x) = 2x + 3 C’est une droite qui passe par le point B(0 ; 3) et parallèle à la droite d’équation (y = 2x).
Le coefficient de la fonction est 2, comme celui de la fonction linéaire g(x) = 2x.
Seuls les points dont les coordonnées (x ; y) sont liées par la relation y = 2x + 3 appartiennent à cette droite. On dit que (y = 2x + 3) est une équation de la droite et que cette droite a pour pente 2. |
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Sur la figure ci-dessus, on a représenté la fonction
linéaire définie par f(x) =
C’est une droite qui passe par le point B(0 ; 2) ) et parallèle à la droite d’équation (y = -x/3).
Le coefficient de la fonction est -1/3.
Seuls les points dont les coordonnées (x ; y) sont liées par la relation y = -x/3 + 2 appartiennent à cette droite. On dit que (y = -x/3 + 2) est une équation de la droite et que cette droite a pour pente -1/3. |
Détermination d’une fonction affine définie par deux nombres et leurs images.
Le « tableau de valeurs » d’une fonction affine n’est pas un tableau de proportionnalité mais les écarts entre deux nombres sont proportionnels aux écarts entre leurs images.
Autrement dit, dans le tableau ci-dessous, la ligne supérieure et la ligne inférieure formées par les écarts sont proportionnelles.
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Ecarts des x |
1 |
3 |
5 |
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x |
1 |
2 |
5 |
10 |
||
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f(x) = 2x + 3 |
5 |
7 |
13 |
23 |
||
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Ecarts des f(x) |
2 |
6 |
10 |
|||
Le coefficient de la fonction est le coefficient de proportionnalité du tableau, on peut donc le calculer aisément.
On calculera ensuite le nombre « b » en utilisant l’image connue d’une valeur.
Exemple : Si on sait que f(1) = 5 et que f(5) = 13.
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On trouve « a » en calculant :
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Puis on calcule « b » en écrivant : f(1) = 5 et f(1) = 2x 1 + b. Donc f(1) = 2 + b = 5. Et donc b = 3. |
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Ainsi la fonction affine définie par f(1) = 5 et f(5) = 13, est donnée par f(x) = 2x + 3.
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Ci-dessous une feuille interactive pour déterminer une fonction affine.
Entrer dans les cellules (B2;B4) et (D2;D4) deux nombres et leurs images par f.
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Vous y trouverez le même tableau accompagné de sa représentation graphique.
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