Définition :
Soit « a » un nombre donné.
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Quand on associe à chaque nombre « x » le nombre « ax », on dit qu’on définit une fonction linéaire f de coefficient a. |
On notera cette fonction : f : x ® ax |
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Le nombre « ax » est appelé image de x par f. Plusieurs notations sont utilisées pour désigner l’image de x : f : x ® ax ou encore f(x) = ax |
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Exemples :
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Soit f est la fonction linéaire de coefficient 2. |
On la note : f : x ® 2x |
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L’image de 5 est 10. En effet f(5) = 2 ´ 5 = 10. L’image de (-3) est -6. En effet f(-3) = 2 ´ (-3) = -6. L’image de 1 est 2. En effet f(1) = 2 ´ 1 = 2. |
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Remarque :
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On peut présenter ces résultats dans un tableau |
x |
5 |
-3 |
1 |
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f(x) |
10 |
-6 |
2 |
C’est un tableau de proportionnalité.
Le coefficient de proportionnalité du tableau est aussi le coefficient de la fonction f.
D’où l’égalité : f(x) = 2 x.
Quelques situations de proportionnalité.
a. En géométrie
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Le périmètre d’un triangle équilatéral de côté « C » est donné par : P = 3C. Quand on connaît le côté C , on trouve le périmètre en multipliant C par 3. Autrement dit, ce périmètre est une fonction linéaire du côté. |
Côté C en cm |
1 |
2 |
3 |
x |
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Périmètre P en cm |
3 |
6 |
9 |
3x |
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L’aire d’un carré de côté C est donné par : A = CxC = C². Il n’y a pas proportionnalité entre l’aire et le côté.
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Côté C en cm |
1 |
2 |
3 |
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Aire A en cm² |
1 |
4 |
9 |
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b. au spectacle
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Le prix d’une entrée au cinéma est 5€. Le prix a payé pour x entrées est donc 5x. Ce prix total est une fonction linéaire du nombre d’entrées.
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Nombre d’entrées |
1 |
2 |
3 |
x |
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Prix en € |
5 |
10 |
15 |
5x |
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c. Pourcentages
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Appliquer un pourcentage Pour prendre 5% d’un nombre « n », on calcule :
Le résultat est donc une fonction linéaire du nombre n. |
n |
10 |
100 |
200 |
1 |
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5% de n |
0,5 |
5 |
10 |
0,05 |
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Augmentation Quand une quantité « q » augmente de t%, la nouvelle quantité « Q » est alors : Q = q + t%q = (1 + t%)q.
Exemple : un objet coûte 30€. Son prix augmente de 5%. Son nouveau prix est alors Q = 30 + 5% x30 = (1 + 5%) x 30 = 105% x30 = 1,05 x 30 = 31,5€. Le nouveau prix est donc la fonction linéaire de coefficient 1,05 du prix de départ. |
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Diminution Quand une quantité « q » diminue de t%, la nouvelle quantité « Q » est alors : Q = q - t%q = (1 - t%)q.
Exemple : un objet coûte 30€. Son prix baisse de 5%. Son nouveau prix est alors Q = 30 - 5% x30 = (1 - 5%) x 30 = 95% x30 = 0,95 x 30 = 28,5€. Le nouveau prix est donc la fonction linéaire de coefficient 0,95 du prix de départ. |
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Représentation graphique :
Soit f la fonction linéaire définie par : f (x) = ax
L’ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)) est appelé représentation graphique de la fonction linéaire.
Dans un repère, cette représentation est la droite passant par :
- L’origine du repère.
- Le point A de coordonnées (1 ; a)
On dit que y = ax est une équation de cette droite.
« a » est le coefficient directeur de la droite.
Il indique « l’inclinaison » de la droite.
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Sur la figure ci-dessus, on a représenté la fonction linéaire définie par f(x) = 2x. C’est une droite qui passe par l’origine O du repère (car f(0) = 2x0 = 0).
Le coefficient de la fonction est 2. Cela signifie que lorsque x augmente d’un certaine quantité q, f(x) augmente de 2q. En effet f(x+q) = 2(x+q) = 2x + 2q = f(x) + 2q. En particulier, si x augmente de 1, f(x) augmente de 2.
Seuls les points dont les coordonnées (x ; y) sont liées par la relation y = 2x appartiennent à cette droite. On dit que (y = 2x) est une équation de la droite et que cette droite a pour pente 2. |
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Sur la figure
ci-dessus, on a représenté la fonction linéaire définie par f(x) =
C’est une droite qui passe par l’origine O du repère (car f(0) = 0).
Le coefficient de la fonction est -1/3. Cela signifie que lorsque x augmente d’un certaine quantité q, f(x) diminue de -q/3. En effet f(x+q) = -1/3(x+q) = -x/3 + (-q/3) = f(x) – q/3. En particulier, si x augmente de 3, f(x) diminue de 1 (sur la figure). Et donc, si x augmente de 1, f(x) diminue de 1/3.
Seuls les points dont les coordonnées (x ; y) sont liées par la relation y = -x/3 appartiennent à cette droite. On dit que (y = -x/3) est une équation de la droite et que cette droite a pour pente -1/3. |
Cas particulier : lorsque le coefficient de la fonction linéaire est nul, la fonction est constante.
Sa représentation graphique est alors la droite d’équation y = 0.
C’est l’axe des abscisses.
Agrandissement, réduction
Dans un agrandissement de rapport k, les longueurs sont multipliées par k.
Les nouvelles valeurs sont donc
fonctions linéaires (de coefficient k)
des anciennes.
Dans une réduction de rapport k, les longueurs sont divisées par k.
Les nouvelles valeurs sont donc fonctions linéaires (de coefficient 1/k) des anciennes.
Remarque : les aires sont multipliées par k² et les volumes par k3 , il n’y a plus ici de linéarité.
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