trigonométrie cours.doc
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Si on regarde depuis l’angle C : |
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Si on regarde depuis l’angle B : |
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Dans un triangle rectangle, on peut alors définir les relations suivantes entre un angle aigu et les différentes longueurs des côtés.
| Le cosinus d’un angle est le rapport du côté adjacent sur l’hypoténuse |
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| Le sinus d’un angle est le rapport du côté opposé sur l’hypoténuse |
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| La tangente d’un angle est le rapport du côté opposé sur le côté adjacent |
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Remarques :
¾ On voit du premier coup d’œil sur ce tableau que le sinus d’un angle égale le cosinus de son complémentaire (l’autre angle aigu !) et réciproquement.
sin x = cos (90 - x) et cos x = sin (90 - x)
¾ Et on voit aussi que les tangentes sont inverses l’une de l’autre.
Il est indispensable de connaître ces formules par cœur.
Certains élèves utilisent une formule « magique » ? SOH-CAH-TOA et vous ?
| Sur la figure ci-contre, on peut piloter le point M à la souris
ou au clavier (flèches gauche et droite et haut et bas). Voir aussi les commentaires avec la touche F3. Un double-clic donne accès aux menus du logiciel. |
Définitions :
On travaille dans un repère orthonormé du plan (les axes sont perpendiculaires et ont la même unité de longueur).
Un cercle trigonométrique est un cercle de centre l’origine du repère et de rayon 1.
(ce n’est pas forcement, 1 cm, on n’y verrait pas grand-chose. Le rayon peut mesurer 5cm ou 7 cm ou 10cm ou même 2005km. On décide que ce sera une unité. De toute façon, comme on calcule des rapports, les unités vont disparaître.)
sur l'axe des abscisses, on
peut lire le cosinus de l'angle AoM.
sur l'axe des ordonnées, on peut lire le sinus de l'angle AoM.
sur l'axe (AT), on peut lire la tangente de l'angle AoM.
| Sur la figure ci-contre, on peut piloter le point M à la souris
ou au clavier (flèches gauche et droite, haut et bas). Voir aussi les commentaires avec la touche F3. Un double-clic donne accès aux menus du logiciel.
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On utilise les relations trigonométriques dans un triangle rectangle pour :
a) Calculer la mesure d’un angle aigu lorsqu’on connaît les longueurs de deux côtés.
b) Calculer la mesure d’un côté lorsqu’on connaît la mesure d’un angle aigu et la longueur d’un des deux autres côtés.
Exemples
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Je connais |
Je peux calculer … |
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a) Exemple 1 Dans ABC rectangle en A, on connaît AB = 4cm et BC = 7 cm.
Remarque : [BC] est l’hypoténuse, on ne peut donc utiliser que sinus et cosinus. Pour la tangente, il faut les deux côtés de l'angle droit !
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L’angle B Donc : cos B = AB/BC. Et : cos B = 4/7 Et : B = 55,15009542095351558851948228 … ° (valeur donnée par la calculatrice de Windows!) Vais-je écrire toutes ces décimales sur ma copie ? B = 55° à 1° près. (ne pas oublier l’unité d’angle !) [Comment demander à la calculatrice quel est l'angle dont le cosinus égale 4/7 ! Il faut lui faire afficher : "cos-1" de 4/7. pour cela suivant les machines on presse les touches : 2nd cos ou Inv cos ou ACS ou Cos-1 ... Il faut donc savoir utiliser sa propre calculette !] |
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L’angle C En disant que [AB] est son côté opposé et [BC] l’hypoténuse de ABC. Donc : sin C = AB/BC. Et : sin C = 4/7 Et : C = 34,84990457904648441 … ° C = 35° à 1° près. |
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a) Exemple 2 C’est un autre triangle ! Dans ABC rectangle en A, on connaît AB = 8 cm et AC = 6 cm.
Remarque : Il n’y a pas l’hypoténuse, on ne peut donc utiliser que la tangente.
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L’angle B En disant que [AB] est son côté adjacent et [AC] son côté opposé . Donc : tan B = AB/AC. Et : tan B = 8/6 Et : B = 53,130102354155978703144387 … ° B = 53° à 1° près. |
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L’angle C En disant que [AC] est son côté adjacent et [AB] son côté adjacent Donc : tan C = AC/AB. Et : tan C = 6/8 Et : B = 36,86989764584402129685561 … ° B = 37° à 1° près. |
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Je connais |
Je peux calculer … |
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b) Exemple 1 Dans ABC rectangle en A, on connaît BC = 4 cm et B = 35°.
Remarque : [BC] est l’hypoténuse, on ne peut donc utiliser que sinus et cosinus.
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La longueur de [AB] En disant que pour l’angle B, [AB] est le côté adjacent et [BC] l’hypoténuse de ABC. Donc : cos B = AB/BC. Et : cos 35 = AB/4 Donc AB = 4 x cos 35 (produit en croix !) Et : AB = 3,27660817715596715873795354 … AB = 3,3 cm à 10-1 près. (ne pas oublier l’unité de longueur !) |
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b) |
La longueur de [AC] En disant que pour l’angle B, [AC] est le côté opposé et [BC] l’hypoténuse de ABC. Donc : sin B = AC/BC. Et : sin 35 = AC/4 Et : AC = 4 x sin 35 D’où : AC = 2,294305745404184384432127 … Et AC = 2,3 cm à 10-1 près. |
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c) Exemple 2 Dans ABC rectangle en A, on connaît AC = 9 cm et B = 50°. |
La longueur de [AB] En disant que pour B, [AB] est le côté adjacent et [AC] le côté opposé . Donc : tan B = AC/AB. Et : tan 50 = 9 / AB Et : AB = 9 / tan 50 Donc AB = 7,55 à 10-2 près. B = 37° à 1° près. |
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La longueur de [BC] En disant que pour B, [AC] est le côté opposé et [BC] l’hypoténuse de ABC. Donc : sin B = AC/BC Et : sin 50 = 9/ BC Et : BC = 9 / sin 50 Donc BC = 11,75 à 10-2 près. |
On démontre pour tout angle x aigu :
a) Par simple application du théorème de Pythagore :
sin²x + cos²x = 1.
b) Et aussi par un simple calcul sur les « fractions » :
tan x = sin x / cos x
c) Et encore connaissant la somme des angles d'un triangle :
sin x = cos (90 - x) et cos x = sin (90 - x)
